Exercícios sobre área do triângulo

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A área do triângulo $\phantom{X}V_1\;(0\,;\,0),\;\;V_2\;(a\,;\,a)\;\;$ e $\;\;V_3\;(a\,;\,-a)\;\;$ é:

$a$

$2a$

$a^2$

$2a^2$

$\dfrac{a^{\large 2}}{2}$

resposta: alternativa C
×

(F.C.M.STA.CASA - 1980) Na figura ao lado, considere o segmento a = 2 m . A área da superfície sombreada é igual a:

$2\pi\;$m²

$4\;$m²

$2\;$m²

$\pi\;$m²

nenhuma das anteriores

resposta: (D)
×

Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

resposta:

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$

aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero

Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).

$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$

2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)

Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$

3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$

$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

(MACKENZIE) O ponto ( 3 ; m ) é interno a um dos lados do triângulo A ( 1 ; 2 ), B ( 3 ; 1 ) e C ( 5 ; -4 ) . Então:

m = -1

m = 0

m = - 1/2

m = -2

m = -3

resposta: alternativa A
×

(ITA - 1982) Num triangulo isóceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos adjacentes são $\,arc\,cos\dfrac{7}{25}\;$. Então a área do triangulo é de:

a) 168 m²	b) 192 m²	c) 84 m²	d) 96 m²	e) 157 m²
168 m²	192 m²	84 m²	96 m²	157 m²

resposta: (A)
×

(FUVEST - 2009) Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:

1. O ponto O pertence ao segmento $\,\overline{PQ}\,$.
2. OP = 1 , OQ = $\,\sqrt{2}\,$.
3. A e B são pontos da circunferência. $\;\overline{AP}\; \bot \;\overline{PQ}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\overline{BQ}\; \bot\; \overline{PQ}\,$.

Assim sendo, determine:

A área do triângulo APO.

Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.

resposta:

$\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,$

$\,\frac{5\pi}{6}\,$ e $\,\frac{19\pi}{6}\,$

$\,\frac{3\sqrt{3}\,+\,6\,+\,5\pi}{6}\,$

(CESGRANRIO - 1985) As circunferências da figura de centros M, N e P, são mutuamente tangentes externamente. A maior tem raio 2 e as outras duas têm raio 1. Então a área do triângulo MNP é:

$\,\sqrt{6}\,$

$\,\dfrac{5}{2}\,$

$\,3\,$

$\,2\sqrt{3}\,$

$\,2\sqrt{2}\,$

três circunferências tangentes externamente mutuamente entre si

resposta: Alternativa E
×

(MACKENZIE - 1977) Se a soma das áreas dos três círculos de mesmo raio é $\,3\pi\,$, a área do triângulo equilátero ABC é:

$\,7\sqrt{3}\,+\,12\,$

$\,7\,+\,4\sqrt{3}\,$

$\,19\sqrt{3}\,$

$\,11\sqrt{3}\,$

não sei

triângulo equilátero com 3 circunferências tangentes ao lado da base

resposta: Alternativa A
×

(CESGRANRIO - 1984) AB é o diâmetro do círculo de centro O no qual o triângulo ABC está inscrito. A razão $\,\dfrac{s}{S}\,$ entre as áreas $\,s\,$ do triângulo ACO e $\,S\,$ do triângulo COB é:

$\,\dfrac{5}{4}\,$

$\,\dfrac{4}{3}\,$

$\,\dfrac{3}{4}\,$

$\,1\,$

$\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,$

triângulo ACB inscrito no círculo de centro O

resposta: Alternativa D
×

(FESP - 1991) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio igual a 6 cm. O triângulo é interceptado por um diâmetro de circunferência, formando um trapézio, conforme a figura abaixo. Podemos afirmar então que a razão entre a área do triângulo ABC e a do trapézio é igual a:

$\,\dfrac{5}{4}\,$

$\,\dfrac{9}{5}\,$

$\,\dfrac{9}{8}\,$

$\,\dfrac{9}{4}\,$

$\,\dfrac{8}{5}\,$

círculo com triângulo equilátero inscrito e diâmetro MN

resposta: Alternativa B
×

No triângulo da figura são conhecidos os ângulos Â = 60° e $\,\hat{B}\,$ = 75° e também o lado c = 13 m.

triângulo ABC conhecidos os ângulos A, B e o lado c

Pede-se:
a) a medida em graus do ângulo C;
b) a medida em metros dos lados a e b;
c) a área do triângulo ABC em metros quadrados.

resposta:

Resolução:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então $ \phantom{X} \require{cancel}\hat{A}\,+\,\hat{B}\,+\,\hat{C}\,=\,180^o\;\Rightarrow $ $\;\hat{C}\,=\,180^o\,-\,(\hat{A}\,+\,\hat{B})\,=$ $\,180^o\,-\,135^o\,=\,45^o\;$

b) Pelo Teorema dos Senos temos que $\,\dfrac{b}{\,sen \hat{B}\,}\,=\,\dfrac{c}{\,sen \hat{C}\,}\,=\,\dfrac{a}{\,sen \hat{A}\,}\,$, então podemos concluir que $\,b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,$
Lembrar que $\,sen(a\,+\,b)\,=$ $\,sen\,a\,\centerdot\,cos\,b\,+\,sen\,b\,\centerdot\,cos\,a\,$
$\,sen\,\hat{A}\,=\,sen75^o\,$ $=\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,+\,sen\,30^o\,\centerdot\,sen\,45^o\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2} + \dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\, =$ $ \dfrac{\,2\sqrt{\,6\;}}{4} = \dfrac{\,\sqrt{\,6\;}}{2}$
$\,sen\,\hat{B}\,=\,sen\,60^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$
$\,sen\,\hat{C}\,=\,sen45^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$

$\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}}{2}\,}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\, =$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=\,$ $13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel{\sqrt{\,2\,}} }{\cancel{\sqrt{\,2\,}}\,}\,=\,13\,\sqrt{\,3\,}\, m\phantom{X}$

$ \phantom{X}b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\;=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,}{\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}}{\sqrt{\,2\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,} = \dfrac{\,13\,\sqrt{\,6\,}}{2}\; m\phantom{X}$